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Variable aléatoire et loi de probabilité

Petit rappel

La probabilité est l'étude d'une expérience dont le résultat est aléatoire, comme par exemple un lancé de dé, ou le tirage d'une boule au loto.

Définition

L'ensemble des résultats possibles d'une expérience donnée est appelé l'univers, noté Ω\Omega.  

Exemple

Lors d'un lancé de dé, les résultats possibles sont chaque face: 1, 2, 3, 4, 5, 6. L'univers est donc

Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}

Variable aléatoire

Définition

Soit Ω={e1;e2;...;em}\Omega = \{e_1;e_2; ...;e_m\} l’univers fini d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire XX sur Ω\Omega est une fonction qui, à chaque issue de Ω\Omega, associe un nombre réel.

Exemple

Jean et Alizée jouent à un jeu de dé : si le nombre obtenu lors du lancé est paire, Jean donne 1€ à Alizée. Sinon Alizée donne 2€ à Jean.

L'univers est l'ensemble des issues possibles du D, c'est à dire Ω={1,2,3,4,5,6}\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}.
On peut modéliser les gains de Jean avec la variable aléatoire XX définie par

X(1)=2X(2)=1X(3)=2X(4)=1X(5)=2X(6)=1\begin{aligned} X(1) &= 2\\ X(2) &= -1\\ X(3) &= 2\\ X(4) &= -1\\ X(5) &= 2\\ X(6) &= -1\\ \end{aligned}

Définition

Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs {x1;x2;...;xn}\{x_1; x_2; ...; x_n\}. Lorsqu’à chaque valeur xix_i, on associe la probabilité de l’événement (X=xi)(X = x_i), on définit la loi de probabilité de XX.

Exemple

La loi de probabilité du précédent exemple est la suivante :

P(X=2)=36=12P(X=2) = \frac 3 6 = \frac 1 2 et P(X=1)=36=12P(X=-1) = \frac 3 6 = \frac 1 2.

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