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Polynômes du second degré

Polynôme du second degré

Dans cette vidéo, nous allons découvrir ce que sont les polynômes du second degré. Rappelons-nous d'abord de la forme d'une fonction affine, qui est de forme bx+cbx+c. Quant au polynôme du second degré, c'est une fonction affine à laquelle on a ajouté un terme carré ax2ax^2, et sa forme est donc ax2+bx+cax^2 + bx +c. C'est donc une sorte de fonction affine avec un terme au carré en plus, et on l'appelle polynôme du second degré. En voici la définition mathématique:

Définition

La fonction f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c avec a0a \neq 0 est un polynôme du second degré.

Le graphe d'un polynôme du second degré est toujours une parabole. Pourquoi? Rappelons nous du graphe de x2x^2, qui était une parabole. On a dans polynôme un terme qui y ressemble, le terme ax2ax^2, qui fait que le graphe d'un polynôme du second degré ressemble lui aussi à une parabole. On retrouve donc certaines propriétés de la parabole x2x^2. Par exemple, le sens de la parabole dépend du signe de x2x^2, et donc dans notre cas il dépend du signe de aa. Si a>0a>0, la parabole est orientée vers le haut, elle "sourit". Si a<0a<0, la parabole est orientée vers le bas, elle "pleure".

Forme canonique

Prenons le cas où notre parabole "sourit". On aimerait connaitre le point le plus bas, ou le minimum. Ou bien prenons le cas où elle "pleure" et on aimerait connaître son maximum, ou son sommet. Comment faire? Pour cela il faut factoriser le polynôme pour obtenir la forme canonique, que voici:

Définition

On appelle forme canonique de la fonction trinôme du second degré

f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx +c

l'écriture

f(x)=a(xα)2+β.f(x)=a(x−α)^2 +β.

Faisons ensemble un exemple pour introduire ceci:

Exemple

On considère la fonction trinôme du second degré p(x)=2x2+3x7p(x)=2x^2 + 3x -7.

Écrire p(x)p(x) sous sa forme canonique.

Solution

On a p(x)=2x2+3x7p(x)= {\color{green}2}x^2 + {\color{red}3}x {\color{purple}-7} avec a=2{\color{green} a=2}, b=3{\color{red} b=3} et c=7{\color{purple}c=-7} D’après la définition de la forme canonique :

α=−2ab​=−2×23​=−43​

α=b2a=322=34α=− \frac{b}{2a} =− \frac{3}{2*2} = - \frac{3}{4} ​
β=p(α)=p(34)=2(34)2+3(34)7=658β=p(α)=p(− \frac{3}{4}) = 2(− \frac{3}{4})^2 + 3 ( - \frac{3}{4} ) - 7 = - \frac{65}{8}

Donc la forme canonique de la fonction trinôme pp est

p(x)=2(x+34)2658.p(x)=2(x+ \frac{3}{4}) ^2 - \frac{65}{8} .

Comme on le voit, trouver la forme canonique n'est pas toujours facile. Mais elle reste quand même très utile pour trouver les maxima et minima. Voyons comment:

Propriété

Soit f(x)=a(xα)2+βf(x) = a\left( x-\alpha\right)^2+\beta, un polynôme sous sa forme cannonique.

Les coordonnées du minimum ou maximum (en fonction du signe de aa), sont données par (α;β)(\alpha;\beta).

A l'inverse du calcul de la forme canonique, l'application de cette propriété est très simple, une fois qu'on a trouvé α\alpha et β\beta. Dans l'exemple précédent, notre minimum (a>0a>0) se trouve en (34;658-\dfrac{3}{4};-\dfrac{65}{8}).

Tableau de variation

On aimerait savoir comment dresser un tableau de variation d'un polynôme du second degré. Etant donné qu'on a affaire à une parabole, on aura un seul changement de comportement en α\alpha.

Dans le cas d'une courbe orientée vers le haut (a>0a>0), elle décroît sur l'intervalle ];α]]-\infty;\alpha], et croît sur [α;[[\alpha;\infty[.

Dans le cas d'une courbe orientée vers le bas (a<0a<0), elle croît sur l'intervalle ];α]]-\infty;\alpha], et décroît sur [α;[[\alpha;\infty[.

Faisons un exemple avec une courbe orientée vers le haut:

Exemple

Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction f(x)=3(x2)2+1f(x) = 3( x-2)^2 + 1

Solution

f est sous sa frome canonique et on voit que a=3a=3, α=2\alpha=2 et β=1\beta=1.

Puisque a=3>0a=3>0 alors ff est décroissante sur l’intervalle

];α]=];2]]−∞;α]=]−∞;2]

puis croissante sur l’intervalle

[α;+[=[2;+[.[α;+∞[=[2;+∞[.

Voici le tableau de variation et la courbe de ff

Texte alternatif

Etude de signe

Pour l'étude de signe d'un polynôme de second degré, référons nous à la propriété suivante:

Propriété

Soit ff une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : f(x)=a(xα)2+βf(x) = a( x-\alpha)^2+\beta tels que aa, α\alpha et β\beta sont trois nombres réels (a0a\neq 0).

  • Si a>0a > 0 et β0\beta \geq 0, alors la fonction est positive sur R\mathbb R

  • Si a<0a < 0 et β0\beta \leq 0, alors la fonction est négative sur R\mathbb R.

  • Dans les autres cas (aa et β\beta ont des signes différents), on utilise la forme factorisée de ff puis on dresse un tableau de signe.

La marche à suivre est la suivante :

  1. Mettre le polynôme sous la forme canonique

  2. Comparer les signes de aa et β\beta.

  3. Appliquer la propriété des signes.

Faisons les 3 cas en exemple:

Exemple

Etudier le signe des trois fonctions trinômes suivantes :

  • f(x)=(x−4)2+5

  • g(x)=−7(x+31​)2−6

Solution

Signe de ff : pour tout xRx \in \mathbb R

(x4)20(x4)2+55f(x)50f(x)0(x-4)^2 \geq 0 \\ (x-4) ^2 + 5 \geq 5 \\ f(x) \geq 5 \geq 0\\ f(x)\geq 0

donc ff est positive sur R\mathbb R.

Signe de gg : Pour tout xRx \in \mathbb R

(x+13)207(x+13)207(x+13)266g(x)60g(x)0(x+\frac{1}{3})^2 \geq 0 \\ -7(x+\frac{1}{3})^2 \leq 0 \\ 7(x+\frac{1}{3})^2 - 6 \leq -6 \\ g(x) \leq -6 \leq 0 \\ g(x) \leq 0
Fonction carrée

donc gg est négative sur R\mathbb R.

Signe de hh : On remarque ici que a=1>0a=1>0 et β=9<0\beta=-9<0 (signes différents), dans ce cas il faut penser au tableau de signe de la fonction hh. Premièrement on factorise l’expression h(x)h(x) par l’identité remarquable X2Y2=(XY)(X+Y){\color{green}X}^2-{\color{purple}Y}^2=({\color{green}X}-{\color{purple}Y})({\color{green}X}+{\color{purple}Y}):

h(x)=(x+1)29=(x+1)232((x+13)((x+2)+3)(x+13)(x+1+3)(x2)(x+4)h(x) = (x+1)^2 - 9 \\ = (x+1) ^2 - 3^2 \\ ((x+1 - 3)((x+2) + 3) \\ (x+1-3) (x+1+3) \\ (x-2)(x+4)\\

Tableau de signe de hh (Voir le cours : « Factorisation et Etudes de Signe ») : x2=0x-2=0 si et seulement si x=2x=2. x+4=0x+4=0 si et seulement si x=4x=-4.

Texte alternatif

Conclusion : hh est positive sur l’ensemble ];4][2;+[\rbrack-\infty;-4\rbrack \cup [2;+\infty[ et négative sur l’intervalle [4;2][-4 ;2]

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Commentaires

asmaa

-8
il y a 5 ans
je préféré l'autre prof
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asmaa

-7
il y a 5 ans
je préféré l'autre prof
Répondre

asmaa

-4
il y a 5 ans
je préféré l'autre prof
Répondre

asmaa

-4
il y a 5 ans
222
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mark.cavagnoli

0
il y a 5 ans
Comment on fait pour connaître alpha et beta?
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Asn

6
il y a 5 ans
Alpha=-b/2a et Beta=f (alpha)
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sadis222

0
il y a 5 ans
alpha= b/2a et Beta= Delta/4a²
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TitanePaladin

0
il y a 2 ans
Bonjour! Il existe deux méthodes pour connaître alpha et beta. La première: il faut trouver la forme canonique par factorisation et tu auras une écriture de la forme a(x-alpha) + beta La seconde: il faut utiliser les formules suivantes : alpha = -b/2a et beta = f(alpha). Bonne journée!
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NULLLLL

0
il y a 5 ans
r compris
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NULLLLL

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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maanongls

0
il y a 5 ans
beaucoup trop dur :(
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Sam

1
il y a 5 ans
Merci beaucoup Mathrix 
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le_guyalsacien

0
il y a 5 ans
pas compris
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marc ducrotoy

3
il y a 5 ans
wow, le niveau de maturité dans les commentaires ^^ c'est fou... Merci pour ces explications, j'ai un peu mieux compris.
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TacticDekiss

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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TacticDekiss

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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TacticDekiss

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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TacticDekiss

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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