Dans cette vidéo, nous allons découvrir ce que sont les polynômes du second degré. Rappelons-nous d'abord de la forme d'une fonction affine, qui est de forme . Quant au polynôme du second degré, c'est une fonction affine à laquelle on a ajouté un terme carré , et sa forme est donc . C'est donc une sorte de fonction affine avec un terme au carré en plus, et on l'appelle polynôme du second degré. En voici la définition mathématique:
La fonction avec est un polynôme du second degré.
Le graphe d'un polynôme du second degré est toujours une parabole. Pourquoi? Rappelons nous du graphe de , qui était une parabole. On a dans polynôme un terme qui y ressemble, le terme , qui fait que le graphe d'un polynôme du second degré ressemble lui aussi à une parabole. On retrouve donc certaines propriétés de la parabole . Par exemple, le sens de la parabole dépend du signe de , et donc dans notre cas il dépend du signe de . Si , la parabole est orientée vers le haut, elle "sourit". Si , la parabole est orientée vers le bas, elle "pleure".
Prenons le cas où notre parabole "sourit". On aimerait connaitre le point le plus bas, ou le minimum. Ou bien prenons le cas où elle "pleure" et on aimerait connaître son maximum, ou son sommet. Comment faire? Pour cela il faut factoriser le polynôme pour obtenir la forme canonique, que voici:
On appelle forme canonique de la fonction trinôme du second degré
l'écriture
Faisons ensemble un exemple pour introduire ceci:
On considère la fonction trinôme du second degré .
Écrire sous sa forme canonique.
Solution
On a avec , et D’après la définition de la forme canonique :
α=−2ab=−2×23=−43
Donc la forme canonique de la fonction trinôme est
Comme on le voit, trouver la forme canonique n'est pas toujours facile. Mais elle reste quand même très utile pour trouver les maxima et minima. Voyons comment:
Soit , un polynôme sous sa forme cannonique.
Les coordonnées du minimum ou maximum (en fonction du signe de ), sont données par .
A l'inverse du calcul de la forme canonique, l'application de cette propriété est très simple, une fois qu'on a trouvé et . Dans l'exemple précédent, notre minimum () se trouve en ().
On aimerait savoir comment dresser un tableau de variation d'un polynôme du second degré. Etant donné qu'on a affaire à une parabole, on aura un seul changement de comportement en .
Dans le cas d'une courbe orientée vers le haut (), elle décroît sur l'intervalle , et croît sur .
Dans le cas d'une courbe orientée vers le bas (), elle croît sur l'intervalle , et décroît sur .
Faisons un exemple avec une courbe orientée vers le haut:
Donner le tableau de variation et tracer la courbe représentative de la fonction
Solution
f est sous sa frome canonique et on voit que , et .
Puisque alors est décroissante sur l’intervalle
puis croissante sur l’intervalle
Voici le tableau de variation et la courbe de
Pour l'étude de signe d'un polynôme de second degré, référons nous à la propriété suivante:
Soit une fonction trinôme de second degré définie par sa forme canonique : tels que , et sont trois nombres réels ().
Si et , alors la fonction est positive sur
Si et , alors la fonction est négative sur .
Dans les autres cas ( et ont des signes différents), on utilise la forme factorisée de puis on dresse un tableau de signe.
La marche à suivre est la suivante :
Mettre le polynôme sous la forme canonique
Comparer les signes de et .
Appliquer la propriété des signes.
Faisons les 3 cas en exemple:
Etudier le signe des trois fonctions trinômes suivantes :
f(x)=(x−4)2+5
g(x)=−7(x+31)2−6
Solution
Signe de : pour tout
donc est positive sur .
Signe de : Pour tout
donc est négative sur .
Signe de : On remarque ici que et (signes différents), dans ce cas il faut penser au tableau de signe de la fonction . Premièrement on factorise l’expression par l’identité remarquable :
Tableau de signe de (Voir le cours : « Factorisation et Etudes de Signe ») : si et seulement si . si et seulement si .
Conclusion : est positive sur l’ensemble et négative sur l’intervalle