Formules de dérivation d'opérations

Propriété

Soient $f$ et $g$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ alors :

La somme $f+g$ est dérivable sur $I$ et on a
$(f+g)′=f′+g′.$
Le produit $(fg)$ est dérivable sur $I$ et et on a
$(fg)′=f′g+fg′.$
Si $a \in \mathbb{R}, (af)$ est dérivable sur $I$ et on a
$(af)′=af′.$
Si $f$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\dfrac{1}{f}$ est dérivable et on a
$(\frac{1}{f})'=-\frac{1}{f^2}.$
Si $g$ ne s'annule pas sur $I$ alors $\dfrac{f}{g}$ est dérivable et on a : $(\frac{f}{g})'=\frac{f'g-fg'}{g^2}.$

Propriété

Si $f$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et si $g$ est une fonction dérivable sur un intervalle $J$ et pour tout $x \in I$ on a : $f(x) \in J$ alors $f \circ g$ est dérivable sur $I$ et on a :

(f∘g)′(x) =g′(x)f′(g(x)).

(f∘g)′(x)=g′(x)×f′(g(x)).

Attention : Une fonction dérivable est continue MAIS une fonction continue n'est pas forcément dérivable.

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Interprétation graphique et utilité

Les formules de dérivation

Dérivation d'opérations

Tableau de signe de la dérivée et sens de variation

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