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Probabilités et Variables Aléatoires

Variable aléatoire et loi de probabilité

Définition

Soit Ω={e1;e2;...;em}\Omega = \{e_1;e_2; ...;e_m\} l’univers fini d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire XX sur Ω\Omega est une fonction qui, à chaque issue de Ω\Omega, associe un nombre réel.

Définition

Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs {x1;x2;...;xn}\{x_1; x_2; ...; x_n\}. Lorsqu’à chaque valeur xix_i, on associe la probabilité de l’événement (X=xi)(X = x_i), on définit la loi de probabilité de XX.

Espérance, variance, écart-type et transformations de variables aléatoires

Définition

Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs x1;x2;...;xnx_1; x_2; ...; x_n avec les probabilités p1;p2;...;pnp_1; p_2; ...; p_n.

  • On appelle espérance de XX le nombre : E(X)=p1x1+p2x2+...+pnxn=i=1npixiE(X) = p_1x_1 + p_2x_2 + ...+ p_nx_n = \displaystyle\sum_{i=1}^{n}p_ix_i.

  • On appelle variance de XX le nombre : V(X)=p1(x1E(X))2+p2(x2E(X))2+...+pn(xnE(X))2=i=1npi(xiE(X))2V(X) = p_1 (x_1 - E(X))^2 + p_2 (x_2 - E(X))^2 + ...+ p_n (x_n - E(X))^2 = \displaystyle\sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - E(X))^2

  • On appelle écart-type de XX le nombre σ(X)=V(X)\sigma(X) = \sqrt{V(X)}

Définition

Soit XX une variable aléatoire prenant les valeurs x1,x2,...,xnx_1,x_2,...,x_n. Pour tous réels aa et bb, on peut définir une autre variable aléatoire, en associant à chaque issue donnant la valeur xix_i, le nombre axi+bax_i + b.

On note cette variable aléatoire aX+baX + b.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire, aa et bb deux réels, on a ;E(aX+b)=aE(X)+bE(aX + b) = aE(X) + b

etV(aX)=a2V(X).V(aX) = a^2V(X).

Commentaires

Demeulenaere

-1
il y a 5 ans
j ai trouve 1
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Demeulenaere

0
il y a 5 ans
jai trouve 7 
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Demeulenaere

0
il y a 5 ans
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