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PremièreMathématiquesLoi Binomiale et échantillonnage
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Loi Binomiale et Echantillonage

Loi Binomiale et Schéma de Bernoulli

Propriété

Les règles d’utilisation principales des arbres pondérés sont :

  • chaque chemin de l’arbre correspond à un résultat dont la probabilité est le produit des probabilités inscrites sur les branches qui constituent le chemin

  • la probabilité d’un événement est la somme des probabilités associées aux chemins qui permettent de réaliser l’événement.

Définition

On dit qu’une expérience aléatoire à deux issues est une épreuve de Bernoulli. Par convention, une des deux issues, de probabilité pp avec 0<p<10 < p < 1, est appelée succès (notée SS) et l’autre est appelée échec (notée S‾\overline{S}). On dit que la variable aléatoire prenant la valeur 11 en cas de succès et la valeur 00 en cas d’échec suit la loi de Bernoulli de paramètre pp.

Définition

On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité de succès est pp. La répétition nn fois (où n∈N∗n \in N^*), de façon indépendante, de cette épreuve de Bernoulli est appelée schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp.

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp et un entier kk avec 0≤k≤n0\leq k \leq n. L’entier (nk)\dbinom{n}{k}, appelé coefficient binomial et se lisant « kk parmi nn », désigne le nombre de chemins de l’arbre correspondant à kk succès.

Propriété

Soit nn et kk des entiers naturels avec 0≤k≤n−10 \leq k \leq n − 1. {(n0)=1(nn)=1(nk)=(nn−k)(nk)+(nk+1)=(n+1k+1) Formule de Pascal\begin{cases} \dbinom{n}{0}=1\\ \dbinom{n}{n}=1\\ \dbinom{n}{k}=\dbinom{n}{n-k}\\ \dbinom{n}{k}+\dbinom{n}{k+1}= \dbinom{n+1}{k+1} \text{ Formule de Pascal} \end{cases}

Définition

On considère un schéma de Bernoulli de paramètres nn et pp. On dit que la variable aléatoire XX donnant le nombre de succès obtenus sur les nn épreuves suit la loi binomiale de paramètres nn et pp, notée B(n;p)B(n;p).

Définition

Soit XX une variable aléatoire suivant la loi B(n;p)B(n ; p). On a :

P(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X = k) =\dbinom{n}{k}p^k(1 − p)^{n−k}

.

Propriété

Soit XX une variable aléatoire suivant une loi B(n;p)B(n;p). {E(X)=npV(X)=np(1−p)σ(X)=V(X)\begin{cases}E(X) = np\\ V(X) = np(1 − p)\\ \sigma(X) =\sqrt{V(X)} \end{cases}

Échantillonnage

Définition

On dit que [a;b][a;b] est un intervalle de fluctuation au seuil de 95%95\% ou 0,950,95 du nombre de succès si P(X∈[a;b])>0,95P(X \in [a ; b]) > 0,95.

Propriété

L’intervalle [a;b][a ; b] où :

  • aa est le plus petit entier tel que P(X<a)>0,025P(X < a) > 0,025

  • bb est le plus petit entier tel que P(X<b)>0,975P(X < b) > 0,975

est un intervalle de fluctuation au seuil de 9595%.

Propriété

On considère la variable aléatoire F=XnF =\dfrac{X}{n} donnant la fréquence de succès. L’intervalle [an;bn]\left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right] est un intervalle de fluctuation au seuil de 95% de cette fréquence.

Propriété

On considère une population dans laquelle la proportion d’un certain caractère est pp. Si la population est suffisamment grande, quand on prélève un échantillon de nn individus, on peut considérer que le nombre d’individus ayant le caractère suit une loi binomiale de paramètres nn et pp. Ainsi, l’intervalle de fluctuation au seuil de 9595% du nombre d’individus ayant le caractère dans l’échantillon est [a;b][a;b] de la fréquence du caractère dans l’échantillon est[an;bn]\left[\dfrac{a}{n};\dfrac{b}{n}\right].

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