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Théorème de Pythagore

Hypoténuse – Médiane – Cercle circonscrit

Définition

Le cercle passant par les trois sommets d’un triangle ABCABCest appelé cercle circonscrit à ce triangle. Le triangle est alors inscrit dans ce cercle.

Cercle circonscrit

Définition

Dans un triangle ABCABC, la médiane issue du sommet AA est le segment [AI][AI]II désigne le milieu du segment [BC][BC].

Médiane

Le terme médiane désigne parfois, mais pas dans ce cours, la droite (AI)(AI) plutôt que le segment [AI][AI].

Définition

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse de ce triangle rectangle.

Hypoténuse
lumix

Ne confonds pas l'hypoténuse et un des cotés adjacents. L'hypoténuse se trouve en face de l'angle droit.

Propriétés d’un triangle rectangle

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Propriété

Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit, c'est-à-dire aussi que le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.

Triangle rectangle et cercle circonscrit

Triangle rectangle et médiane

Propriété

Si un triangle ABCABC est rectangle au point BB alors la médiane issue de BB mesure la moitié de l’hypoténuse ACAC.

Triangle rectangle et médiane

Exemple

On considère un triangle EFGEFG rectangle en EE tel que FG=6 cmFG=6\ cm.

  • Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.

  • Combien mesure la médiane issue de EE.

Solution

  • Puisque le triangle EFGEFG est rectangle en EE alors son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse [FG][FG], donc le centre de ce cercle est le milieu II de [FG][FG] et son rayon est :R=FG2=62 cm=3 cm.R=\frac{FG}2=\frac{6}2\ cm=3\ cm.

  • La médiane issue de EE est [EI][EI] et elle mesure :EI=R=FG2=3 cm.EI=R=\frac{FG}2=3\ cm.

Comment montrer qu'un triangle est rectangle

Propriété

Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.

Cercle circonscrit et triangle rectangle

Si dans un triangle, une médiane mesure la moitié du côté correspondant alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.

 Médiane et triangle rectangle

Exemple

On considère un triangle ABCABC et II le milieu du côté [BC][BC]avec BC=9 cmBC=9\ cm et AI=4,5 cmAI=4 ,5\ cm. Montrer que le triangle ABCABC est rectangle.

Solution

Puisque La médiane AIAI issue de AA mesure la moitié du coté [BC][BC] (AI=BC2=4,5 cm)\left(AI=\dfrac{BC}2=4,5\ cm\right), alors le triangle ABCABC est rectangle en AA.

Théorème de Pythagore

Théorème

Théorèmede Pythagore

Si ABCABC est un triangle rectangle en BB alors, AC2=AB2+BC2.AC^2=AB^2+BC^2.

theoreme de pythagore

Exemple

Calcul de l'hypoténuse

Soit un triangle ABCABC rectangle en BB avec AB=3AB = 3cm et BC=4BC = 4cm. Alors on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer ACAC :AC2=AB2+BC2=32+42=9+16=25.\begin{aligned} AC^2 &= AB^2 + BC^2\\{}&=3^2 + 4^2\\{}&=9+16\\{}&=25.\end{aligned}

Finalement, on obtient AC=25=5AC = \sqrt{25} = 5cm.

Calcul d'un coté adjacent

Soit un triangle EDFEDF rectangle en EE avec ED=6ED = 6cm et DF=10DF = 10cm. Alors on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer EFEF :DF2=ED2+EF2EF2=DF2ED2=10262=10036=64.\begin{aligned} DF^2 &= ED^2 + {\color{green}EF}^2\\ {\color{green}EF}^2 &= DF^2 -ED^2\\{}&=10^2-6^2\\{}&=100-36\\{}&=64.\end{aligned}

Finalement, on obtient DF=64=8DF = \sqrt{64} = 8cm.

Théorème réciproque de Pythagore

Théorème: réciproque de Pythagore

Si dans un triangle ABCABC on a AC2=AB2+BC2AC^2=AB^2+BC^2 alors ABCABC est un triangle rectangle en BB.

Exemple

  • EFGEFG est un triangle tel que EF=5 cmEF = 5\ cm, EG=12 cmEG = 12\ cm et FG=13 cmFG = 13\ cm. Démontrer que EFGEFG est un triangle rectangle en EE.

  • ABCABC est un triangle tel que AB=4 cmAB = 4\ cm, BC=6 cmBC = 6\ cm et AC=8 cmAC = 8\ cm. Démontrer que ABCABC n'est pas un triangle rectangle en BB.

Solution


    • EF2+EG2=52+122=169etFG2=169EF ^2 + EG^2 = 5^2+12^2=169 \quad \text{et} \quad FG^2=169donc FG2=EF2+EG2FG^2=EF ^2 + EG^2, et d’après le théorème inverse de Pythagore, le triangle EFGEFG est rectangle en EE.

      • AB2+BC2=42+62=52etAC2=64AB ^2 + BC^2 = 4^2+6^2= 52 \quad \text{et} \quad AC^2=64donc AC2AB2+BC2AC^2\neq AB ^2 + BC^2 et d’après le théorème inverse de Pythagore, le triangle ABCABC n’est pas rectangle en BB.

lumix

Mots clés à retenir : Cercle circonscrit, Hypoténuse, Médiane, Théorème Réciproque.

Commentaires

médiateur

1
il y a 5 ans
c etait trop facile merci a mathrix
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Romane

1
il y a 5 ans
Il y un faute  au calcul du côté adjacent c'est marqué  DF sauf que sa devrait être EF 
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Kimam

-1
il y a 5 ans
ouais c'est l'ophotothise
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Swann_l

0
il y a 5 ans
En gros pour trouver le côté manquant qui est l’hypotenuse tu doit additionner les deux coter adjacents au carré ensuite tu fait racine carré du résultat et tu aura la longueur de l’hypothénuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
Répondre

Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
Répondre

Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse 
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre racine carré à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse  
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre la racine à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse  
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre la racine à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse  
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Swann_l

0
il y a 5 ans
Tu additionne les deux côtés adjacents au carré pour ensuite mettre la racine à se resultat et sa te donnera la longueur de l’hypothenuse  
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LOUNA100

0
il y a 5 ans
Dommage que se soit payant ...
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LOUNA100

0
il y a 5 ans
Ecris un commentaire..
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LOUNA100

0
il y a 5 ans
dommage que c'est payant ..
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Yugalex

0
il y a 5 ans
2+(-4)
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Eleavrc

0
il y a 5 ans
Vrais
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Eleavrc

1
il y a 5 ans
Faux
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LeaderKid

0
il y a 5 ans
C la hess 
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Sid-Ahmed

-1
il y a 5 ans
salut
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Lolita_cayenne

0
il y a 4 ans
Coucou c lolita j'ai besoin sur l'agrandissement et reduction c'estexercice
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Lolita_cayenne

0
il y a 4 ans
j'ai besoin d'aide svp
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