Le cercle passant par les trois sommets d’un triangle est appelé cercle circonscrit à ce triangle. Le triangle est alors inscrit dans ce cercle.
Dans un triangle , la médiane issue du sommet est le segment où désigne le milieu du segment .
Le terme médiane désigne parfois, mais pas dans ce cours, la droite plutôt que le segment .
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est appelé hypoténuse de ce triangle rectangle.
Ne confonds pas l'hypoténuse et un des cotés adjacents. L'hypoténuse se trouve en face de l'angle droit.
Si un triangle est rectangle alors son hypoténuse est le diamètre du cercle circonscrit, c'est-à-dire aussi que le milieu de l’hypoténuse est le centre du cercle circonscrit.
Si un triangle est rectangle au point alors la médiane issue de mesure la moitié de l’hypoténuse .
On considère un triangle rectangle en tel que .
Déterminer le centre et le rayon du cercle circonscrit à ce triangle.
Combien mesure la médiane issue de .
Solution
Puisque le triangle est rectangle en alors son cercle circonscrit a pour diamètre l’hypoténuse , donc le centre de ce cercle est le milieu de et son rayon est :
La médiane issue de est et elle mesure :
Si un triangle est inscrit dans un cercle ayant pour diamètre l’un de ses côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
Si dans un triangle, une médiane mesure la moitié du côté correspondant alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est ce côté.
On considère un triangle et le milieu du côté avec et . Montrer que le triangle est rectangle.
Solution
Puisque La médiane issue de mesure la moitié du coté , alors le triangle est rectangle en .
Si est un triangle rectangle en alors,
Calcul de l'hypoténuse
Soit un triangle rectangle en avec cm et cm. Alors on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer :
Finalement, on obtient cm.
Calcul d'un coté adjacent
Soit un triangle rectangle en avec cm et cm. Alors on peut appliquer le théorème de Pythagore pour calculer :
Finalement, on obtient cm.
Si dans un triangle on a alors est un triangle rectangle en .
est un triangle tel que , et . Démontrer que est un triangle rectangle en .
est un triangle tel que , et . Démontrer que n'est pas un triangle rectangle en .
Solution
Mots clés à retenir : Cercle circonscrit, Hypoténuse, Médiane, Théorème Réciproque.